Fôrmulas para cálculos de Volumes:
ÁREA DO TRAPÉZIO
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura).
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Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:
Primeiro: completamos as alturas no trapézio:
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h
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Cálculo da área do ∆CFD:
A∆2 = b . h
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Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:
AT = A∆1 + A∆2
AT = B . h + b . h
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AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores.
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AT = h (B + b)
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Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:
A = h (B + b)
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h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio
ÁREA DO CILINDRO:
Para calcularmos a capacidade de um objeto com formato cilíndrico, precisamos encontrar a área da base circular e multiplicar pela sua altura. O cálculo da área do círculo é realizado utilizando a medida do raio e o valor do número π (pi) que é igual a 3,14. Então, calculamos a área de um sólido circular utilizando a seguinte expressão matemática:
V: volume
r: medida do raio
h: medida da altura
Um tanque circular possui em sua base um círculo com raio medindo 1 metro e altura correspondente a 2 metros. Vamos determinar o volume desse tanque.
V = π * r² * h
V = 3,14 * 1² * 2
V = 3,14 * 1 * 2
V = 6,28 m³
A medida 1 m³ (metro cúbico) corresponde a 1000 litros. Então, temos que a capacidade desse tanque em litros é de:
Capacidade = 6,28 * 1000
Capacidade = 6.280 litros
ÁREA DO QUADRADO:
Para calcularmos a área do quadrado temos que multiplicar a largura pelo comprimento.
Área do quadrado: 4 m x 4 m = 16 m²
ÁREA DO TRIÂNGULO:
Área de triângulos
Definição de altura: A altura de um triângulo é o segmento de reta que liga perpendicularmente um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento). Esse lado oposto é chamado de base. Assim sendo, cada triângulo possui 3 alturas.
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A área do triângulo vale a metade do produto da altura pela respectiva base:
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Triângulos especiais
a. triângulo equilátero (3 lados iguais)
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b. triângulo isósceles (2 lados iguais)
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c. triângulo retângulo
No caso do triângulo retângulo, cada um dos dois lados perpendiculares (os catetos) pode ser considerado alturas, sendo que o outro passaria a ser a base. A área pode ser calculada então como a metade do produto dos dois catetos. A altura em relação à hipotenusa, porém, é única, e a área é calculada pela fórmula habitual.
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ÁREA DA PIRÂMIDE:
Dado um polígono contido num plano e um ponto V fora desse plano, define-se pirâmide como sendo a reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V é chamado de vértice da pirâmide.
As pirâmides são classificadas de acordo com a forma de sua base. Além do vértice da pirâmide podemos destacar outros elementos importantes como: a altura, o apótema, a superfície lateral e, claro, a base.
O volume de uma pirâmide é dado em função da área de sua base e da altura h, de acordo com a fórmula abaixo:
Onde
V → é o volume
Ab → é a área da base da pirâmide
h → é a altura da pirâmide
Exemplo 1. Calcule o volume da pirâmide de base quadrada a seguir:
Solução: Pela análise da figura, temos que:
h = 9 cm
Ab = 62 = 36 cm2
Assim, o volume da pirâmide será dado por:
Exemplo 2. Calcule o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que cada aresta da base mede 8 cm.
Solução: Primeiro, vamos calcular a área da base dessa pirâmide. Sabemos que a base da pirâmide é um hexágono regular de 8 cm de aresta. A área do hexágono regular é dada por:
Conhecida a medida da área da base da pirâmide, podemos utilizar a fórmula do volume.
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola
ÁREA DO CÍRCULO:
A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14.
A = π * r²
O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados).
Vamos determinar a área de algumas regiões circulares.
Exemplo 1
Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros.
A = π * r²
A = 3,14 * 20²
A = 3,14 * 400
A = 1256 m²
Serão necessários 1256 m² de grama.
Exemplo 2
Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10 metros, e a região menor, raio medindo 3 metros.
Área da região com raio medindo 10 metros
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 m²
Área da região com raio medindo 3 metros
A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 3,14 * 9
A = 28,26 m²
Área da região em destaque
A = 314 – 28,26
A = 285,74 m²
Exemplo 3
Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados.
Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros.
A = π * r²
A = 3,14 * 6²
A = 3,14 * 36
A = 113,04 m²
Calculando 10%
10% = 10/100
10/100 * 113,04
11,30
Total de ladrilhos a serem comprados
113,04 + 11,30
124,34 m²
Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
